1. 浙江省杭州学军中学数学复习:竞赛中的局部调整策略  共用

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          数学竞赛中的局部调整策略

          局部调整法,就是为了解决某个问题,从与问题有实质联系的较宽要求开始,然后充分利用已获得的结果作为基础,逐步加强要求,逐步逼近目标,直至最后彻底解决问题的一种解题方法。
          这种方法在解决数学竞赛问题中有着广泛的应用,本文举例阐述应用这种方法解题的基本策略。
          例1已知锐角三角形中,在的内部(包括边界)上找一点,使得到三边的距离之和最小。[]
          分析先对在边界上时,研究点在什么位置时,到三边距离之和最小,
          然后再对在的内部时进行研究。
          解(一)先研究在的边界上时
          (1)若在边上
          如图1,记的顶点对应的边分别是
          ,边上的高分别为,
          到边的距离分别为,连。
          由面积关系得,时取等号)。即在点处时,到三边距离之和最小。
          (2)若在边上,在点处时,到三边距离之和最小。
          (3)若在边上,在点处时,到三边距离之和最小。
          综合(1),(2),(3),当点在点处时,到三边距离
          之和最小。
          (二)再研究在内部时
          如图2,过作的平行线交于,交
          于,固定,由(一)知,
          让变化,有
          ,.
          综合(一)(二)知,当点在处时,
          最小。
          评注本题先对在边界上进行调整,获得问题的局部解决。经过若干次这样的局部调整,逐步逼近目标,最终得到问题的整体解决。
          例2已知正实数,满足,
          求证:.[]
          分析从特殊情形入手,时不等式成立,然后研究一般情况,通过局部调整解决问题。
          证明当时不等式成立。
          当中不全为1时,其中必有一个属于(0,1),一个属于,据对称性,不妨设.[
          (1)若

          。
          (2)若,即
          作第一次调整:令下证.
          即证①.令,
          则.
          记,,
          ,
          ①的左边=右边=
          ,。①
          成立。

          =,其中
          再继续调整,可得.
          评注本题调整的目的是逐步将求证不等式左边各项变为,应注意每次调整应使各变量的积为1,而且放大。
          例3在1,2,3,…,1989每个数前添上,使其代数和为最小的非负数,并写出算式(全俄1998年数学竞赛题)
          解先证其代数和为奇数。
          从简单情形考虑:全添上“+”,此时是奇数。[
          对一般情况,只要将若干个“+”调整为。
          奇偶性相同,故每次调整,其代数和的奇偶性不变,即总和为奇数。
          而,
          因此这个最小值是1。[
          评注在不断调整,变化过程中,挖掘不变量(或不变性质)使问题迎刃而解。
          例4空间有2003个点,其中任何三点不共线,把它们分成点数各不相同的30组,在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形,问要使这种三角形的总数为最...
              

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